Identidades notables

¿Tienes que hacer ejercicios con identidades notables? A continuación tienes las fórmulas que debes conocer para resolver problemas con estas expresiones algebraicas que, en ocasiones, pueden tener un desarrollo bastante laborioso por lo que conociendo su fórmula ahorrarás mucho tiempo en su cálculo.

Binomio al cuadrado

El binomio al cuadrado es una de las identidades notables más típicas y que a pesar de ello, muchas veces se resuelve mal.

Estas son las fórmulas que hay que aplicar para resolver una identidad notable de un binomio al cuadrado:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Los términos que se elevan al cuadrado siempre van con un signo positivo mientras que el término que es igual al doble del primero por el segundo tendrá un signo que será positivo o negativo dependiendo del que haya en la identidad notable.
Ejercicios resueltos:

(x + 2)2 = x2 + 4x + 4

(x – 2)2 = x2 – 4x + 4

Suma por diferencia

Cuando aprendemos la identidad notable de la suma por diferencia nos enseñan que es igual a la diferencia de cuadrados. Esto se resume en la siguiente fórmula:

(a + b) (a − b) = a2 − b2

Ejemplos resueltos:

(3x + 2) (3x – 2) = 9x2 – 4

(2x + 5) (2x – 5) = 4x2 – 25

Binomio al cubo

El binomio al cubo es una de las identidades notables que más tiempo lleva resolver por lo que conocer las fórmulas es vital para ahorrar tiempo.

Al igual que sucede con la identidad notable del binomio al cuadrado, tendremos que usar una fórmula u otra dependiendo del signo que tengamos:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

A continuación vamos a ver varios ejemplos resueltos de cómo calcular la identidad notable de un binomio al cubo:

(x + 3)3 = x3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x · 32 + 33 = x3 + 9x2 + 27x + 27

(2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 · 3 + 3 · 2x · 32 − 33 = 8x3 − 36x2 + 54x − 27

Trinomio al cuadrado

En este caso tenemos la suma de tres variables cuyo resultado elevamos al cuadrado, una identidad notable que podemos calcular aplicando la siguiente fórmula:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

De nuevo, vamos a ver con un ejemplo resuelto cómo se hace esta identidad notable:

(x2 + x + 2) = x4 + x2 + 4 + 2x3 + 4x2 + 4x = x4 + 2x3 + 5x2 + 4x + 4

Suma de cubos

Si tenemos la suma de dos variables elevadas al cubo, la forma de calcular esta identidad notable consiste en aplicar la siguiente fórmula:

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

Veámoslo con un ejemplo práctico:

64x3 + 27 = (4x + 3) (16x2 – 12x + 9)

Diferencia de cubos

En el caso de que en lugar de la suma de dos variables al cubo tengamos una resta, la fórmula a aplicar será la siguiente:

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

Si cambiamos de signo al ejemplo anterior para hacerlo compatible con la diferencia de cubos, tenemos que:

64x3 – 27 = (4x – 3) (16x2 + 12x + 9)

Producto de dos binomios con un término en común

Terminamos la sección dedicada a las identidades notables con un producto de dos binomios que tienen un término en común (la x). En este caso, tenemos que aplicar la siguiente fórmula para resolver la ecuación:

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Como no podía ser de otra forma, vamos a verlo mejor con un ejemplo práctico:

(x + 1) (x + 2) = x2 + 3x + 2

Si tienes alguna duda con algún ejercicio de identidades notables, déjanos un comentario y trataremos de ayudarte lo antes posible.

En este caso no hemos podido desarrollar una calculadora de identidades notables ya que es demasiado complejo debido a la gran cantidad de variaciones que supone trabajar con fórmulas en las que intervienen números y variables cuyo valor es desconocido (x). Por eso, estaremos encantados de ayudarte si tienes alguna duda con una identidad notable concreta.